[이산수학#8] 부울대수

1. 기본사항

디지털 논리회로 : 디지털 신호로 입력하여 논리연산을 통해 디지털 신호로 출력

AND 게이트 : 논리곱, F = X· Y

OR 게이트 : 논리합, F = X + Y

NOT 게이트 : 논리부정, F = X'

NAND 게이트 : F = 𝑿' + 𝒀'

NOR 게이트 : F = X'· Y'

XOR 게이트 : 배타적 논리합, F = 𝑿'𝒀 + 𝑿𝒀'

XNOR 게이트 : F = 𝑿'𝒀' + 𝑿𝒀

 

2. 부울대수

부울식 -부울상수 0,1은 부울식 -부울변수 -𝑿, 𝒀가 부울식인 경우, 𝑿 + 𝒀, 𝑿 ∙ 𝒀, 𝑿', (𝑿) 도 부울식

항등법칙 : 같은 값, 𝑿 + 𝟎 = 𝑿  | 𝑿 ∙ 𝟏 = 𝑿

지배법칙 : 더해지거나 곱해지는 값과 같은 값, 𝑿 + 𝟏 = 𝟏  | 𝑿 ∙ 𝟎 = 𝟎

멱등법칙 : 같은 값을 더하거나 곱하면 나오는 값이 더하거나 곱한 값과 동일, 𝑿 + 𝑿 = 𝑿 | 𝑿 ∙ 𝑿 = 𝑿 

부정법칙 : 부정하는 값을 통해 나오는 값들, 𝑿 + 𝑿' = 1 | 𝑿 ∙ 𝑿' = 𝟎 | 𝑿' = 𝑿 

교환법칙 : 앞항과 뒷항의 값이 같은 값, 𝑿 + 𝒀 = 𝒀 + 𝑿  | 𝑿 ∙ 𝒀 = 𝒀 ∙ 𝑿 

결합법칙 : 결합하여도 나오는 값이 동일, 𝑿 + 𝒀 + 𝒁 = 𝑿 + 𝒀 + 𝒁 | 𝑿 ∙ (𝒀 ∙ 𝒁) = (𝑿 ∙ 𝒀) ∙ 𝒁

분배법칙 : 나누어도 나오는 값이 동일, 𝑿 ∙ 𝒀 + 𝒁 = 𝑿 ∙ 𝒀 + 𝑿 ∙ 𝒁  | 𝑿 + 𝒀 ∙ 𝒁 = (𝑿 + 𝒀) ∙ (𝑿 + 𝒁)

드모르간 법칙 : (𝑿 + 𝒀)' = 𝑿'∙ 𝒀' | (𝑿 ∙ 𝒀)' = 𝑿' + 𝒀'

흡수 법칙 : 값이 흡수되는 값, 𝑿 + 𝑿 ∙ 𝒀 = 𝑿 | 𝑿 ∙ (𝑿 + 𝒀) = 𝑿 

 

쌍대성 원리 : 부울식에서 논리곱과 논리합을 서로 바꾸고 논리 상수를 서로 바꾸면 원래 부울식의 쌍대

부울함수의 보수

-드모르간 법칙

-쌍대성 원리 이용 (F의 쌍대, F의 쌍대에서 정상형과 보수형을 서로 바꿈)

 

3. 부울함수의 대수적 간소화

항결합 : 두개의 항을 결합하여 하나의 항으로 만드는 방법

문자소거 : 중복된 문자를 제거

중복항 첨가 : 부울함수의 진리값이 변하지 않도록 하면서 간소화를 위한 적절한 항을 첨가