[디지털논리회로#4,5]부울함수의 간소화 및 구현

1. 간소화 방법

대수적인 방법

- 대수적으로 적용하여 간소화

- 도표방법과 테이블 방법의 이론적 바탕

 

도표 방법

- 카르노 도표 사용, 부울함수의 각 항들을 곱이나 합 형태로 간소화

- 6개 변수를 가진 부울함수에 사용

 

테이블 방법

- 퀸-맥클러스키 방법, 테이블을 사용하여 간소화 알고리즘을 구현

- 많은 변수를 가진 부울함수에 적합

 

1. 카르노도표 방법의 개요

카르노 도표 : 여러개의 사각형으로 된 다이어그램

- 사각형 : 각각 하나의 최소항 또는 최대항

- 도표 내의 면적을 이용해 간소화 (정규형 부울함수 => 표준형 부울 함수)

- 간소화 형태 : 최소항의 합이 곱의 합, 최대항의 곱이 합의 곱 형태

- 부울함수의 입력변수의 수에 다라 기본 도표의 형태가 결정

- 입력변수의 수가 n인 경우, n 변수 카르노 도표라함 (사각형 : 2^n개)

 

간소화 방법

 

2. 2, 3, 4변수 카르노 도표

2변수 카르노 도표
2 개의 변수를 가지는 부울함수 => 4개의 최소항 (4개의 정사각형으로 구성)
3변수 카르노 도표
3 개의 변수를 가지는 부울함수 => 8개의 최소항 (8개의 정사각형으로 구성)
4변수 카르노 도표
4 개의 변수를 가지는 부울함수 => 16개의 최소항 (16개의 정사각형으로 구성)

무관조건 (카르노 도표 : x 로 표현)

- 정의 : 입력변수들의 조합에 따라 함수값이 발생하지 않는 경우

- 함수값이 0과 1 중 어떤 출력값이 나와도 무관한 경우

- 부울함수를 더욱 간소화

 

BCD 코드의 경우

- 2진수 16개 조합 중 10개 조합만 사용

- 나머지 6개 조합(1010,1011,1100,1101,1110,1111)은 미사용 => 발생하지 않는다는 가정 (무관하게 동작)

 

XOR의 카르노 도표

- 3변수 XOR 의 논리식

3변수 XOR : 한 변수가 1이거나 세 변수 모두 1인 경우

2변수 XOR : 오직 한 변수만 1인 경우

다중 변수 XOR(홀수함수) : 홀수개의 변수가 1

 

 

3. NAND와 NOR 게이트를 이용한 구현방법

- 실제 회로는 NAND와 NOR 게이트로 구현 (AND, OR 게이트에서 변환 필요)

- 전자회로로 제작이 용이 회로구성이 동일 게이트로 구성되는 것이 유리

 

NAND 게이트만으로 연산 구현			NAND 게이트의 그래픽 기호
2단계 구현			다단계 구현
NOR 게이트만으로 연산 구현			NOR 게이트의 그래픽 기호
2단계 구현			다단계 구현

 

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